Question

已知函數(shù)f（x）=下列敘述：
①f（x）是奇函數(shù)；
②y=xf（x）為奇函數(shù)；
③（x+1）f（x）＜3的解為-2＜x＜2；
④xf（x+1）＜0的解為-1＜x＜1．
其中正確的是 ________．（填序號）

Answer 1

①
分析：由題中的函數(shù)解析式和奇函數(shù)的定義分別去判斷①和②；根據(jù)分段函數(shù)對x分三種情況，求解對應的不等式得解集，最后再并在一起，再與給出的答案對照．
解答：①由題意知f（0）=0且函數(shù)的定義域是R，當x＞0時，f（-x）=-1=-f（x），
當x＜0時，f（-x）=-1=-f（x），故①對；
②當x＞0時，f（-x）=（-1）（-x）=x=f（x），則不是奇函數(shù)，故②不對；
③當x=0時，f（0）=0＜3，成立；當x＞0時，不等式為x+1＜3解得0＜x＜2；
當x＜0時，不等式為-x-1＜3，解得-4＜x＜0；
綜上，不等式得解集是（-4，2），故③不對；
④當x=-1時，f（-1+1）=0＜3，成立；當x＞-1時，不等式為x＜0解得-1＜x＜0；
當x＜-1時，不等式為-x＜0，解得無解；
綜上，不等式得解集是[-1，0），故③不對；
故答案為①．
點評：本題的考點是分段函數(shù)判斷奇偶性和求分段函數(shù)構(gòu)成的不等式的解集，需要根據(jù)分段函數(shù)的不同范圍對應不同的解析式進行對x分類進行求解．