Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²-lnx-a．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果對任意x∈（1，+∞），都有$f（x）+\frac{e}{e^x}＞\frac{1}{x}$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a≤0和a＞0研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a＞0時，求出導(dǎo)函數(shù)的零點，由導(dǎo)函數(shù)的零點對定義域分段，由導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號可得原函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為a（x²-1）-lnx＞$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$在（1，+∞）上恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax²-a-lnx，得f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-1}{x}$（x＞0），
當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$（舍去負值），
∴x∈（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$） 時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，x∈（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞） 時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）上單調(diào)遞減，在（ $\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）f（x）+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＞0，即ax²-a-lnx+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立，
等價于a（x²-1）-lnx＞$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$在（1，+∞）上恒成立，
設(shè)k（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{x}-ex}{{xe}^{x}}$，
記k1（x）=ex-ex，則k1′（x）=ex-e，
當(dāng)x＞1時，k1′（x）＞0，k₁（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
k₁（x）＞k₁（1）=0，即k（x）＞0，
若a≤0，由于x＞1，故a（x²-1）-lnx＜0．
∴f（x）+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立時，必有a＞0．
當(dāng)a＞0時，①若$\frac{1}{\sqrt{2a}}$＞1，則0＜a＜$\frac{1}{2}$，由（Ⅰ）知x∈（1，$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）時，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，因此f（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）＜f（1）=0，而k（$\frac{1}{\sqrt{2a}}$）＞0，
即存在x=$\frac{1}{\sqrt{2a}}$＞1，使f（x）+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
故當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＞0不恒成立．
②若$\frac{1}{\sqrt{2a}}$≤1，即a≥$\frac{1}{2}$，設(shè)s（x）=a（x²-1）-lnx-$\frac{1}{x}$+$\frac{e}{{e}^{x}}$，
s′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{e}{{e}^{x}}$，
由于2ax≥x且k₁（x）=ex-ex＞0，即 $\frac{e}{{e}^{x}}$＜$\frac{1}{x}$，
故-$\frac{e}{{e}^{x}}$＞-$\frac{1}{x}$，
因此，s′（x）＞x-$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{3}-2x+1}{{x}^{2}}$＞$\frac{{x}^{2}-2x+1}{{x}^{2}}$＞0，
故s（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴s（x）＞s（1）=0，即a≥$\frac{1}{2}$時，f（x）+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立．
綜上，a∈[$\frac{1}{2}$，+∞）時，f（x）+$\frac{e}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{x}$＞0在（1，+∞）上恒成立．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．