Question

11．已知拋物線y²=ax（a≠0）的準(zhǔn)線方程為x=-3，△ABC為等邊三角形，且其頂點在此拋物線上，O是坐標(biāo)原點，則△ABC的邊長為24$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出拋物線方程，根據(jù)拋物線的對稱性可知△ABC一個頂點為原點，另兩點關(guān)于x軸對稱，利用等邊三角形的性質(zhì)解出其中一個頂點的坐標(biāo)即可得出答案．

解答 解：∵拋物線y²=ax（a≠0）的準(zhǔn)線方程為x=-3，∴拋物線方程為y²=12x．
由拋物線的對稱性可知△ABC的一個頂點A為原點，另兩個頂點B，C關(guān)于x軸對稱．
設(shè)B在第一象限，坐標(biāo)為（m，n），則n=$\frac{\sqrt{3}}{3}m$．
∴$\frac{{m}^{2}}{3}$=12m，解得m=36．
∴△ABC的邊長為2n=$\frac{2\sqrt{3}}{3}m$=24$\sqrt{3}$．
故答案為：24$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題．