Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AC，且AB⊥AC，D，E分別為是A1C1和BB1的中點.

（1）求證：A1C⊥平面ABC1；

（2）求證：DE平面ABC1

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，可得AB⊥平面ACC1A1，那么AB⊥A1C，再由AA1＝AC，且AA1⊥AC，可知A1C⊥AC1，即得證；（2）設(shè)，連接BG，DG，證明BEDG是平行四邊形，即得證。

證明：（1）因為在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，

又因為AB⊥AC，AC∩AA1＝A，

所以AB⊥平面ACC1A1，

所以AB⊥A1C，

因為AA1＝AC，且AA1⊥AC，

所以四邊形ACC1A1為正方形，

所以A1C⊥AC1，

又AC1∩AB＝A，

所以A1C⊥平面ABC1

（2）設(shè)，連接BG，DG，四邊形ACC1A1為正方形，

所以G為A1C的中點，

因為D，E分別為是A1C1和BB1的中點，

所以DGBE，

所以四邊形BEDG是平行四邊形，

所以DE∥BG，

因為BG平面ABC1，DE平面ABC1，

所以DE∥平面ABC1.