Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l過(guò)點(diǎn)M（1，0），傾斜角為．

（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的參數(shù)方程；

（Ⅱ）若曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C′，且直線l與曲線C′交于A，B兩點(diǎn)，求|MA|+|MB|．

Answer 1

【答案】（1）（x﹣2）2+4y2=4， ，（t為參數(shù)）；（2）.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)極坐標(biāo)方程化簡(jiǎn)直角坐標(biāo)方程可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣2）2+4y2=4，利用點(diǎn)的坐標(biāo)和傾斜角可得直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）；

(Ⅱ)利用題意求得伸縮變換之后的方程，然后利用弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為 .

試題解析：

（Ⅰ）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ﹣4cosθ+3ρsin2θ=0，∴ρ2﹣4ρcosθ+3ρ2sin2θ=0，

∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣4x+3y2=0，整理，得（x﹣2）2+4y2=4，

∵直線l過(guò)點(diǎn)M（1，0），傾斜角為，

∴直線l的參數(shù)方程為，即，（t是參數(shù)）．

（Ⅱ）∵曲線C經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C′，

∴曲線C′為：（x﹣2）2+y2=4，

把直線l的參數(shù)方程，（t是參數(shù)）代入曲線C′：（x﹣2）2+y2=4，

得：，

設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1+t2=，t1t2=﹣3，

|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|===．