Question

7．已知雙曲線E的漸近線方程為3x±4y=0，且E的右焦點為（5，0），過雙曲線E中心的直線與雙曲線E交于A，B兩點，在雙曲線E上取一點C，直線AC，BC的斜率分別為k₁、k₂，則k₁k₂等于（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{9}{16}$
• D． $\frac{16}{25}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由漸近線方程可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，再由焦點可得c=5，求得a=4，b=3，進(jìn)而得到雙曲線的方程，設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），C（s，t），代入雙曲線的方程相減，結(jié)合直線的斜率公式化簡整理即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由雙曲線E的漸近線方程為3x±4y=0，
可得$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
又E的右焦點為（5，0），可得c=5，即a²+b²=25，
解得a=4，b=3，
即有雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
設(shè)A（m，n），可得B（-m，-n），C（s，t），
可得$\frac{{m}^{2}}{16}$-$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，$\frac{{s}^{2}}{16}$-$\frac{{t}^{2}}{9}$=1，
相減可得$\frac{{m}^{2}-{s}^{2}}{16}$=$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{9}$，
即有k₁k₂=$\frac{n-t}{m-s}$•$\frac{n+t}{m+s}$=$\frac{{n}^{2}-{t}^{2}}{{m}^{2}-{s}^{2}}$=$\frac{9}{16}$．
故選：C．

點評 本題考查直線的斜率之積，注意運用雙曲線的漸近線方程和雙曲線的方程的關(guān)系，以及點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．