Question

17．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|+m，若函數(shù)f（x）有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

• A． （-$\frac{20}{7}$，-$\frac{8}{7}$）
• B． （-∞，-3）∪（-$\frac{8}{7}$，+∞）
• C． （-2，-$\frac{10}{7}$）
• D． （-∞，-2）∪（-$\frac{10}{7}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|，作出函數(shù)g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|+m=0得$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|=-m，
設(shè)g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|
∵f（x）為偶函數(shù)，∴g（x）為偶函數(shù)，
y=$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$在x≤0時(shí)為增函數(shù)，且當(dāng)x=-2時(shí)，y=$\frac{10-6-4}{7}=0$，
則當(dāng)x＜-2時(shí)，$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$＜0，此時(shí)g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$-$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$=$\frac{2}{7}$（$\frac{1}{2}$）^x，
當(dāng)-2≤x≤0時(shí)，$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$≥0，此時(shí)g（x）=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+|$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$|=$\frac{10+3x+{2}^{-x}}{7}$+$\frac{10+3x-{2}^{-x}}{7}$=$\frac{6}{7}$x+$\frac{20}{7}$，
作出函數(shù)g（x）圖象如圖：
則當(dāng)x=-2時(shí)，g（-2）=$\frac{6}{7}$×（-2）+$\frac{20}{7}$=$\frac{8}{7}$，
當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=$\frac{6}{7}$×0+$\frac{20}{7}$=$\frac{20}{7}$，
要使g（x）=-m有4個(gè)零點(diǎn)，
則$\frac{8}{7}$＜-m＜$\frac{20}{7}$，即-$\frac{20}{7}$＜m＜-$\frac{8}{7}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度大．