Question

13．已知點P（x，y）在橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1上，且x+y+a≥0恒成立，則a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥2
• B． a≥-2
• C． a≥0
• D． a＜0

Answer 1

分析 由P在橢圓上，可設(shè)x=$\sqrt{3}$cosα，y=sinα（0≤α＜2π），運用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x+y的最小值，由x+y+a≥0恒成立，即-a≤x+y的最小值，即可得到a的范圍．

解答 解：由點P（x，y）在橢圓$\frac{x^2}{3}$+y²=1上，
可設(shè)x=$\sqrt{3}$cosα，y=sinα（0≤α＜2π），
則x+y=$\sqrt{3}$cosα+sinα=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα）=2sin（α+$\frac{π}{3}$），
由0≤α＜2π，可得$\frac{π}{3}$≤α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{7π}{3}$，
當(dāng)α+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$，即α=$\frac{7π}{6}$時，sin（α+$\frac{π}{3}$）取得最小值-1，
則x+y的最小值為-2，
由x+y+a≥0恒成立，即-a≤x+y的最小值，
即為-a≤-2，解得a≥2．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程的運用，注意運用轉(zhuǎn)化思想，將不等式恒成立問題化為求函數(shù)的最值問題，考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．