Question

3．兩個(gè)相同的正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放于棱長(zhǎng)為1的正方體中，重合的底面與正方體的某一個(gè)圖平行，各頂點(diǎn)均在正方體的表面上（如圖），該八面體的體積可能值有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 無(wú)數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 把正子體分成兩個(gè)四棱錐，分別求兩個(gè)四棱錐的體積，根據(jù)底面的范圍，得到正子體的體積在一個(gè)取值范圍中，不是一個(gè)定值，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)ABCD與正方體的截面四邊形為A′B′C′D′，
設(shè)AA′=x（0≤x≤1），則AB′=1-x，|AD|²=x²+（1-x）²=2（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$
故S_ABCD=|AD|²∈[$\frac{1}{2}$，1]
V=$\frac{1}{3}$S_ABCD•h•2=$\frac{1}{3}$S_ABCD∈[$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$]．
∴該八面體的體積可能值有無(wú)數(shù)個(gè)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求棱錐的體積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．