Question

5．已知復(fù)數(shù)ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i（i為虛數(shù)單位）．
（1）求ω²及ω²+ω+1的值；
（2）若等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公比q=ω，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分別計(jì)算ω²與ω²+ω+1的值即可；
（2）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵復(fù)數(shù)ω=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i（i為虛數(shù)單位），
∴ω²=${（-\frac{1}{2}）}^{2}$+2×（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+${（\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{2}$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
ω²+ω+1=（-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）+（-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）+1=0；
（2）等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公比q=ω，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和
S_n=$\frac{{a}_{1}（1{-ω}^{n}）}{1-ω}$
=$\frac{1{-ω}^{n}}{1-ω}$
=$\frac{1{-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{n}}{1-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$
=$\frac{[1{-（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{n}]（\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}{（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i）（\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}$
=（$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{6}$i）[1-${（-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i）}^{n}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．