Question

10．下列命題中，真命題是（　　）

• A． ?x₀∈R，使e${\;}^{{x}_{0}}$＜x₀+1成立
• B． a，b，c∈R，a³+b³+c³=3abc的充要條件是a=b=c
• C． 對?x∈R，使2^x＜x²成立
• D． a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要條件

Answer 1

分析 A．根據(jù)特稱命題的定義進行判斷，
B．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷，
C．根據(jù)全稱命題的定義進行判斷，
D．根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答 解：A．設(shè)f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
當(dāng)f′（x）＞0時，x＞0，當(dāng)f′（x）＜0時，x＜0，
即當(dāng)x=0時，函數(shù)f（x）取得極小值同時也是最小值f（0）=1-0-1=0，
即f（x）≥f（0）=0，即e^x-x-1≥0，則e^x≥x+1恒成立，故A錯誤，
B．a(chǎn)³+b³+c³-3abc=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）[（a+b）²-c（a+b）+c²]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-bc-ca）=0，
則a+b+c=0，或a²+b²+c²-ab-ac-bc=0，
則2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0，
∴（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∵（a-b）²≥0，（a-c）²≥0，（b-c）²≥0，
∴只有（a-b）²=0，（a-c）²=0，（b-c）²=0，
∴a=b=c．故a³+b³+c³=3abc的充要條件是a=b=c或a+b+c=0，故B錯誤，
C．當(dāng)x=0時，2^x＜x²不成立，故C錯誤，
D．設(shè)f（x）=x|x|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，}&{x≥0}\\{-{x}^{2}，}&{x＜0}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則，a＞b是a|a|＞b|b|的充要條件，故D正確，
故選：D

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，利用函數(shù)思想是解．決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度