Question

【題目】已知橢圓，如圖所示點(diǎn)為橢圓上任意三點(diǎn)．

（Ⅰ）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得代數(shù)式為定值．若存在，求出實(shí)數(shù)和的值；若不存在，說(shuō)明理由．

（Ⅱ）若，求三角形面積的最大值；

（Ⅲ）滿足（Ⅱ），且在三角形面積取得最大值的前提下，若線段與橢圓長(zhǎng)軸和短軸交于點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)）．判斷四邊形的面積是否為定值．若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）,（2）1（3）2

【解析】試題分析：（1）將坐標(biāo)代入橢圓方程，根據(jù)，消去得（2）由，得聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求AB，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求三角形高，再代入三角形面積公式，最后根據(jù)基本不等式求最值，（3）先求E,F坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形面積公式求面積，計(jì)算結(jié)果為定值即可.

試題解析：（Ⅰ）由于，且；

得：

所以，即

故，存在實(shí)數(shù)使得．

（Ⅱ）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)為；

聯(lián)立方程組，得；

由，得，即， ；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)為；

聯(lián)立方程組，得；

由，得，

即，

， ；

等號(hào)成立時(shí)， ，即．

所以的最大值為1．

（Ⅲ）取得最大值時(shí)， ，此時(shí)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)恰好分別是橢圓長(zhǎng)軸和短軸各一個(gè)端點(diǎn)；

不妨取， ，若線段與橢圓長(zhǎng)軸和短軸交于點(diǎn)（不是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）．

此時(shí)點(diǎn)定在第三象限，即；

直線的方程為，令，得

同理，得

四邊形的面積為：