【題目】已知,函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)若,證明:曲線沒有經(jīng)過點的切線;
(Ⅱ)若函數(shù)在其定義域上不單調(diào),求的取值范圍;
(Ⅲ)是否存在正整數(shù),當(dāng)時,函數(shù)的圖象在軸的上方,若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)答案見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出切線方程,化簡得: ,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷方程無解,從而證明結(jié)論即可;(Ⅱ)分離參數(shù),得,令(),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出參數(shù)的范圍即可;(Ⅲ)問題等價于,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值,從而證明結(jié)論即可;
試題解析:(Ⅰ)因為,所以,此時,
設(shè)曲線在點處的切線經(jīng)過點
則曲線在點處的切線
所以
化簡得:
令,則,
所以當(dāng)時, , 為減函數(shù),
當(dāng)時, , 為增函數(shù),
所以,
所以無解
所以曲線的切線都不經(jīng)過點
(Ⅱ)函數(shù)的定義域為,因為,
所以在定義域上不單調(diào),等價于有變號零點,
令,得,令().
因為,令, ,
所以是上的減函數(shù),又,故是的唯一零點,
當(dāng), , , 遞增;
當(dāng), , , 遞減;
故當(dāng)時, 取得極大值且為最大值,
所以,即的取值范圍是
(Ⅲ)函數(shù)的圖象在軸的上方,即對任意, 恒成立.
.令(),
所以
(1)當(dāng)時, ,即
①當(dāng)時, , 是減函數(shù),所以;
②當(dāng)時, ,
令,則,所以是增函數(shù),
所以當(dāng)時, ,即
所以在上是增函數(shù),所以,
當(dāng)時,取,且使,即,
則,
因為,故存在唯一零點,
即有唯一的極值點且為最小值點
所以,又,即,
故,設(shè),
因為,所以是上的減函數(shù),
所以,即
所以當(dāng)時,對任意, 恒成立
(2)當(dāng)時, ,因為,取,
則, ,
所以不恒成立,
綜上所述,存在正整數(shù)滿足要求,即當(dāng)時,函數(shù)的圖象在軸的上方
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過伸縮變換后得到曲線.以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點是上一動點,求點到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0,||<)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如表:
ωx+ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+) | 0 | 5 | -5 | 0 |
(1)請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整,并求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)將y=f(x)的圖象向左平移個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若關(guān)于x的方程g(x)-m=0在區(qū)間[0,]上有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若函數(shù)在處取得極值,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(3)討論函數(shù)的零點個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,如圖所示點為橢圓上任意三點.
(Ⅰ)若,是否存在實數(shù),使得代數(shù)式為定值.若存在,求出實數(shù)和的值;若不存在,說明理由.
(Ⅱ)若,求三角形面積的最大值;
(Ⅲ)滿足(Ⅱ),且在三角形面積取得最大值的前提下,若線段與橢圓長軸和短軸交于點(不是橢圓的頂點).判斷四邊形的面積是否為定值.若是,求出定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.
(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高;
(2)計算甲班的樣本方差;
(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一,作為一種鏤空藝術(shù),它能給人以視覺上以透空的感覺和藝術(shù)享受.在中國南北方的剪紙藝術(shù),通過一把剪刀、一張紙、就可以表達(dá)生活中的各種喜怒哀樂.如圖是一邊長為1的正方形剪紙圖案,中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心,圓與圓之間是相切的,且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍,若在正方形圖案上隨機(jī)取一點,則該點取自白色區(qū)域的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在梯形ABCD中,DC∥AB,DC⊥CB,E是AB的中點,且AB=2BC=2CD=4(如圖所示),將△ADE沿DE翻折,使AB=2(如圖所示),F是線段AD上一點,且AF=2DF.
(Ⅰ)求四棱錐A-BCDE的體積;
(Ⅱ)在線段BE上是否存在一點G,使EF∥平面ACG?若存在,請指出點G的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.
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