【題目】如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱， ， 兩兩垂直， 為等邊三角形， 為內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且．

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）證明： ；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知條件利用勾股定理得， ，得進(jìn)行證明；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，通過證明平面來證得結(jié)論；（Ⅲ）以、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個法向量與平面的一個法向量的夾角的余弦值，結(jié)合圖形即可得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>， ， 兩兩垂直，

所以，

又△為等邊三角形，

所以 ，故

（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、

因?yàn)?/span>， ，所以

，所以平面

所以

（Ⅲ）如圖建立空間坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>，可設(shè),則

由（Ⅰ）同理可得

因?yàn)?/span>，

所以

所以設(shè)（）

所以，所以

平面的法向量為

設(shè)平面的法向量為則

取則所以，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】判斷下列命題的真假：

（1）是的必要條件；

（2）是的充要條件；

（3）兩個三角形的兩組對應(yīng)角相等是這兩個三角形相似的充要條件；

（4）三角形的三條邊滿足勾股定理是這個三角形為直角三角形的充要條件；

（5）在中，重心和垂心重合是為等邊三角形的必要條件；

（6）如果點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， // ， ， ， 為的中點(diǎn)．

（1）求證： ；

（2）求證： //平面；

（3）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，如圖所示點(diǎn)為橢圓上任意三點(diǎn)．

（Ⅰ）若，是否存在實(shí)數(shù)，使得代數(shù)式為定值．若存在，求出實(shí)數(shù)和的值；若不存在，說明理由．

（Ⅱ）若，求三角形面積的最大值；

（Ⅲ）滿足（Ⅱ），且在三角形面積取得最大值的前提下，若線段與橢圓長軸和短軸交于點(diǎn)（不是橢圓的頂點(diǎn)）．判斷四邊形的面積是否為定值．若是，求出定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“冰桶挑戰(zhàn)賽”是一項(xiàng)社交網(wǎng)絡(luò)上發(fā)起的慈善公益活動，活動規(guī)定：被邀請者要么在小時內(nèi)接受挑戰(zhàn)，要么選擇為慈善機(jī)構(gòu)捐款（不接受挑戰(zhàn)），并且不能重復(fù)參加該活動．若被邀請者接受挑戰(zhàn)，則他需在網(wǎng)絡(luò)上發(fā)布自己被冰水澆遍全身的視頻內(nèi)容，然后便可以邀請另外個人參與這項(xiàng)活動．假設(shè)每個人接受挑戰(zhàn)與不接受挑戰(zhàn)是等可能的，且互不影響．

（1）若某參與者接受挑戰(zhàn)后，對其他個人發(fā)出邀請，則這個人中至少有個人接受挑戰(zhàn)的概率是多少？

（2）為了解冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別是否有關(guān)，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，調(diào)查得到如下列聯(lián)表：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否有%的把握認(rèn)為“冰桶挑戰(zhàn)賽與受邀者的性別有關(guān)”？

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】剪紙藝術(shù)是最古老的中國民間藝術(shù)之一，作為一種鏤空藝術(shù)，它能給人以視覺上以透空的感覺和藝術(shù)享受.在中國南北方的剪紙藝術(shù)，通過一把剪刀、一張紙、就可以表達(dá)生活中的各種喜怒哀樂.如圖是一邊長為1的正方形剪紙圖案，中間黑色大圓與正方形的內(nèi)切圓共圓心，圓與圓之間是相切的，且中間黑色大圓的半徑是黑色小圓半徑的2倍，若在正方形圖案上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自白色區(qū)域的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，點(diǎn)(an，an＋1)在直線y＝x＋2上，且首項(xiàng)a1＝1.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在各棱長均為2的三棱柱中，側(cè)面底面ABC，．

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大��；

（2）已知點(diǎn)D滿足，在直線上是否存在點(diǎn)P，使DP∥平面？若存在，請確定點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為4的橢圓C過點(diǎn)T（1，1），記l為圓O：x2+y2=1的切線

（1）求橢圓C的方程；

（2）若l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求證：∠AOB為定值．

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同步練習(xí)冊答案