Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1a_n=2a_n+1-1，令b_n=a_n-1．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$，求證：數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n＜n+$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1a_n=2a_n+1-1化簡可得（a_n+1-1）（a_n-1）=（a_n+1-1）-（a_n-1），從而可得$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=-1，從而證明；
（2）由（1）可求得a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，從而可得c_n=1+$\frac{1}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），從而利用裂項(xiàng)求和法求得．

解答 證明：（1）∵a_n+1a_n=2a_n+1-1，
∴（a_n+1-1）（a_n-1）=a_n+1a_n-a_n+1-a_n+1
=2a_n+1-1-a_n+1-a_n+1=（a_n+1-1）-（a_n-1），
易知a_n-1≠0，
即b_n+1b_n=b_n+1-b_n，
故$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=-1，
又∵$\frac{1}{_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$=-2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}是以-2為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）知，$\frac{1}{_{n}}$=-n-1，故b_n=-1=-$\frac{1}{n+1}$，
故a_n=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
故c_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{\frac{n+1}{n+2}}{\frac{n}{n+1}}$=1+$\frac{1}{n（n+2）}$=1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
故T_n=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+1+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=n+$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜n+$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．