Question

已知同一平面上的向量，，，滿足如下條件：
①； 
②； 
③，
則的最大值與最小值之差是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)②③判斷出四邊形ABCQ是正方形，并建立坐標(biāo)系，找出A，B，C及Q的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，由①和向量的模列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得到點(diǎn)P的軌跡方程，其軌跡方程為一個(gè)圓，找出圓心坐標(biāo)和半徑，根據(jù)平面幾何知識(shí)即可得到|PQ|的最大值及最小值．
解答：解：根據(jù)②③畫出圖形如下：并以AB 為x軸，以AQ為y軸建立坐標(biāo)系，

∵，∴，則四邊形ABCQ是矩形，
∵，∴AC⊥BQ，則四邊形ABCQ是正方形，
則A（0，0），B（2，0），Q（0，2），C（2，2），設(shè)P（x，y），
∴=（-x，-y）+（2-x，-y）=（2-2x，-2y），
∵，∴（2-2x）²+4y²=4，化簡(jiǎn)得（x-1）²+y²=1，
則點(diǎn)P得軌跡是以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，
∴|PQ|是點(diǎn)Q（0，2）到圓（x-1）²+y²=1任一點(diǎn)的距離，
則|PQ|最大值是+1，最小值是-1，
即的最大值與最小值之差是2，
故答案為2．
點(diǎn)評(píng)：本題題考查了向量的線性運(yùn)算的幾何意義，數(shù)量積的性質(zhì)，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和兩點(diǎn)間的距離公式，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確畫出圖形，并判斷出特征，再建立合適的平面直角坐標(biāo)系，找出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，難度較大，體現(xiàn)了向量問題、幾何問題和代數(shù)問題的轉(zhuǎn)化．