Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為D₁C₁的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．
（1）求證EN⊥A₁C₁
（2）求異面直線A₁C₁與ED所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專(zhuān)題：空間角

分析：（1）連結(jié)AC、BD，交點(diǎn)為O，連結(jié)，OD₁，ON，易證AC⊥平面D₁DO，即可證得EN⊥A₁C₁．
（2）取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)A₁F，C₁F，則∠A₁C₁F就是異面直線A₁C₁與ED所成角，解三角形用余弦定理求得即可．

解答： （1）證明：連結(jié)AC、BD，交點(diǎn)為O，連結(jié)，OD₁，ON，則
D1E

∥

.

ON，∴四邊形D₁ONE是平行四邊形，∴D₁O∥EN，
∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，∴AC⊥平面D₁DO，
∵D₁O?平面D₁DO，∴AC⊥D₁O，
∵A₁C₁∥AC，D₁O∥EN，
∴EN⊥A₁C₁．
（2）解：取DC的中點(diǎn)F，連結(jié)A₁F，C₁F，
∵EC1

∥

.

DF，∴四邊形EDFC₁是平行四邊形，∴ED∥C₁F，
∴∠A₁C₁F就是異面直線A₁C₁與ED所成角．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A1C1=2

2

，C1F=

5

，A₁F=3，
∴cos∠A₁C₁F=

(2 2 )2+( 5 )2-32

2×2 2 × 5

=

8+5-9

4 10

=

10

10

．
∴異面直線A₁C₁與ED所成角的余弦值是

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中的線面關(guān)系的證明及異面直線所成角的求法等知識(shí)，考查學(xué)生線面垂直定理及平移法作異面直線所成角以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．