Question

9．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：|$\overrightarrow{a}$|=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，則|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$和（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$可得|$\overrightarrow{a}$|²=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2|$\overrightarrow$|²，聯(lián)立兩式可得|$\overrightarrow{a}$|²=2|$\overrightarrow$|²=4，計(jì)算可得|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，即可得答案．

解答 解：若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，即|$\overrightarrow{a}$|²=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，
同理（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2|$\overrightarrow$|²，
綜合可得|$\overrightarrow{a}$|²=2|$\overrightarrow$|²=4，
即|$\overrightarrow$|²=2，
|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，注意向量垂直與向量的數(shù)量積之間的關(guān)系．