Question

17．在△OAB中，已知P為線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，若$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$，|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為60°，則$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{AB}$=-9．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$當(dāng)基底，表示$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{AB}$，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，計(jì)算可得結(jié)果．

解答 解：由$\overrightarrow{BP}$=3$\overrightarrow{PA}$可得 $\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OB}$=3（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OP}$），
即有$\overrightarrow{OP}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OA}}{4}$，
$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OA}}{4}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{OB}$²-3$\overrightarrow{OA}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$）
=$\frac{1}{4}$（2²-3•4²+2•2•4•$\frac{1}{2}$）=-9．
故答案為：-9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．