Question

13．已知拋物線x²=-4y的準(zhǔn)線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的兩條漸近線圍成一個(gè)等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程，解方程可得交點(diǎn)坐標(biāo)，再由垂直的向量的坐標(biāo)表示，解方程可得a=b，由離心率公式即可得到所求．

解答 解：拋物線x²=-4y的準(zhǔn)線方程為y=1，①
雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，②
由①②可得交點(diǎn)為A（-$\frac{a}$，1），B（$\frac{a}$，1），
由圍成等腰直角三角形，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即有-$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+1=0，
解得a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程的運(yùn)用，考查離心率的求法，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．