Question

1．若點P（a，b）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則原點O到直線ax+by-1=0的距離的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，由點到直線的距離公式求出原點O到直線ax+by-1=0的距離為$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，結(jié)合$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的幾何意義得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≤0}\\{x-y-2≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

原點O到直線ax+by-1=0的距離為$\frac{|-1|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，
由圖可知$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$的最小值為|OA|=1，最大值為|OB|=2，
∴原點O到直線ax+by-1=0的距離的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1]．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．