Question

13．如圖，某測量人員，為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個點C，從C點可以觀察到點A，B；找到一個點D，從D點可以觀察到點A，C；找到一個點E，從E點可以觀察到點B，C；并測量得到數(shù)據(jù)；
∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=30°，∠BCE=105°，∠CEB=45°，DC=CE=2（百米）．
（1）求△CDE的面積；
（2）求A，B之間的距離．

Answer 1

分析 （1）利用周角定義求出∠DCE度數(shù)，再由CD與CE的長，利用三角形面積公式求出三角形CDE面積即可；
（2）連接AB，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長，在直角三角形BCE中，求出∠CBE度數(shù)，利用正弦定理求出BC的長，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的平方即可．

解答 解：（1）在△CDE中，∠DCE=360°-90°-30°-105°=135°，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•CE•sin135°=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$（平方百米）；
（2）連接AB，
根據(jù)題意知，在Rt△ACD中，AC=DC•tan∠ADC=2×tan60°=2$\sqrt{3}$（百米），
在△BCE中，∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°，
由正弦定理得$\frac{BC}{sin∠CEB}$=$\frac{CE}{sin∠CBE}$，代入求得BC=2$\sqrt{2}$（百米），
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BCcos∠ACB，
則AB²=12+8-2×2$\sqrt{3}$×2$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20-12$\sqrt{2}$，
∴AB=2$\sqrt{5-3\sqrt{2}}$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．