Question

5．已知函數(shù)$f（x）=6lnx+\frac{1}{2}{x^2}-5x$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），f（1），從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）…（1分）
$f'（x）=\frac{6}{x}+x-5=\frac{{{x^2}-5x+6}}{x}$，$f（1）=-\frac{9}{2}$，
切線的斜率k=f'（1）=2，切點為$（1，-\frac{9}{2}）$…（4分）
所以，切線方程為$y+\frac{9}{2}=2（x-1）$，
即4x-2y-13=0…（6分）
（Ⅱ）令$f'（x）=\frac{{{x^2}-5x+6}}{x}=0$，解得x=2或x=3，
由f'（x）＞0解得0＜x＜2或x＞3，由f'（x）＜0解得2＜x＜3，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），（3，+∞），
函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（2，3）…（10分）
且當x=2時，f（x）取得極大值f（2）=-8+6ln2，
$當x=3時，f（x）取得極小值f（3）=-\frac{21}{2}+6ln3$…（12分）

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．