【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
⑴當時,求曲線在點,處的切線方程;
⑵討論的單調(diào)性;
⑶當時,證明.
【答案】(1)(2)見解析(3)證明見解析
【解析】
(1)當時,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程;
(2)對函數(shù)進行求導(dǎo)得,對分和兩種情況進行分類討論,研究導(dǎo)數(shù)值的正負,從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)證明不等式成立等價于證明成立,再構(gòu)造函數(shù)進行證明.
(1)當時,.
所以,
所以,又.
所以曲線在點處的切線方程為,
即.
(2)易得().
①當時,,此時在上單調(diào)遞增;
②當時,令,得.
則當時,,此時在上單調(diào)遞增;
當時,,此時在上單調(diào)遞減.
綜上所述,當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(3)由(2)知,當時,在處取得最大值,
即
,
則等價于,即,
即.(※)
令,則.不妨設(shè)(),
所以().
從而,當時,;當時,,
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;在區(qū)間上單調(diào)遞減.
故當時.
所以當時,總有.
即當時,不等式(※)總成立,
故當時,成立.
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【題目】已知拋物線,的焦點為,過點的直線的斜率為,與拋物線交于,兩點,拋物線在點,處的切線分別為,,兩條切線的交點為.
(1)證明:;
(2)若的外接圓與拋物線有四個不同的交點,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的,但從歷史的角度講,該不等式應(yīng)當稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式,因為正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之,才將這一不等式推廣到完善的地步,在高中數(shù)學(xué)選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2當且僅當ad=bc(即)時等號成立.該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用.根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時x的值分別為( 。
A.B.C.D.
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【題目】在極坐標系中,曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為,以極點為坐標原點,極軸為的正半軸建立平面直角坐標系.
(1)求和的參數(shù)方程;
(2)已知射線,將逆時針旋轉(zhuǎn)得到,且與交于兩點, 與交于兩點,求取得最大值時點的極坐標.
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【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,,平面平面ABC,點D在線段BC上,且,F是線段AB的中點,點E是PD上的動點.
(1)證明:.
(2)當EF//平面PAC時,求三棱錐C-DEF的體積.
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【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,記,;
(1)求實數(shù)、的值;
(2)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的范圍;
(3)對于定義在上的函數(shù),設(shè),,用任意將劃分成個小區(qū)間,其中,若存在一個常數(shù),使得不等式恒成立,則稱函數(shù)為在上的有界變差函數(shù),試證明函數(shù)是在上的有界變差函數(shù),并求出的最小值;
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【題目】已知△ABC中,角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c,且bcosC﹣ccosBa2,tanB=3tanC,則a=_____.
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【題目】設(shè),.已知函數(shù),.
(Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知函數(shù)和的圖象在公共點(x0,y0)處有相同的切線,
(i)求證:在處的導(dǎo)數(shù)等于0;
(ii)若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上恒成立,求b的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),且直線與曲線交于兩點,以直角坐標系的原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求曲線的極坐標方程;
(2) 已知點的極坐標為,求的值
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