已知函數(shù)f(x)=x+
a2
x
(其中常數(shù)a>0),x∈(0,+∞).對于n=1,2,3,…,定義函數(shù)列{fn(x)}如下:f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)).設y=fn(x)的圖象的最低點為Pn(xn,yn),則下列說法中錯誤的是( 。
A、xn=a
B、yn+1>yn
C、fn+1(x)-fn(x)≥yn+1-yn
D、yn≥a
2n+2
考點:基本不等式,函數(shù)的圖象
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用
分析:應用基本不等式求出f1(x)的最小值,應用導數(shù)求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間,從而推出故xn=a,yn+1>yn,判斷A,B;再應用數(shù)學歸納法證明yn≥a
2n+2
,判斷D;應用舉例說明取n=1,令x=
a
2
,得到f2
a
2
)-f1
a
2
)<y2-y1,從而判斷C.
解答:解:∵常數(shù)a>0,x∈(0,+∞),
∴f1(x)=f(x)=x+
a2
x
≥2a,
當且僅當x=a即x1=a,取最小值2a,即最低點為(a,2a),
又f2(x)=f(f1(x)),令f1(x)=t1,則t1≥2a,
由于f(x)的導數(shù)f′(x)=1-
a2
x2
,由f′(x)>0得x>a,
故f(x)的增區(qū)間為(a,+∞),
∴f2(x)≥2a+
a2
2a
=
5
2
a
,即最低點為(a,
5
2
a
),
同理f3(x)=f(f2(x)),f3(x)
5
2
a+
a2
5a
2
=
29a
10
,
即最低點為(a,
29a
10
),
故xn=a,yn+1>yn,即A,B正確;
應用數(shù)學歸納法證明:yn≥a
2n+2

n=1時,y1=2a≥a
2+2
,成立,
設n=k時,yk≥a
2k+2
成立,則當n=k+1時,yk+1=yk+
a2
yk
a
2k+2
+
a2
a
2k+2
,
∵(
2k+2
+
1
2k+2
2=2k+2+2+
1
2k+2
>2(k+1)+2,
∴yk+1>a
2(k+1)+2
,
故D正確;
對C.取n=1,令x=
a
2
,則f1
a
2
)=
a
2
+2a=
5a
2
,
f2
a
2
)=
5a
2
+
2a
5
,f2
a
2
)-f1
a
2
)=
2a
5
<y2-y1=
5a
2
-2a,
故C錯.
故選C.
點評:本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)及應用,考查函數(shù)的單調(diào)性及應用求最值,同時考查基本不等式的應用,注意等號成立的條件,是一道函數(shù)與數(shù)列的綜合題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

過點(-1,2)且以直線2x+3y-7=0的法向量為其方向向量的直線的截距式方程是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

在△ABC中,若
sinB
sinA
=2cos(A+B),則tanB的最大值是(  )
A、
3
3
B、
2
2
C、1
D、2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列三個數(shù):a=ln
3
2
-
3
2
,b=lnπ-π,c=ln3-3,大小順序正確的是( 。
A、a>c>b
B、a>b>c
C、b>c>a
D、b>a>c

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f′(x),若f(x)滿足
f′(x)-f(x)
x-1
>0,f(2-x)=f(x)•e2-2x 則下列判斷一定正確的是(  )
A、f(1)<f(0)
B、f(3)>e3•f(0)
C、f(2)>e•f(0)
D、f(4)<e4•f(0)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖所示,觀察四個幾何體,其中判斷正確的是( 。
A、
   如圖是棱臺
B、
  如圖是圓臺
C、
   如圖是棱錐
D、
   如圖不是棱柱

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)y=tan(x-
π
3
)的定義域是(  )
A、{x∈R|x≠kπ+
6
,k∈Z}
B、{x∈R|x≠kπ-
6
,k∈Z}
C、{x∈R|x≠2kπ+
6
,k∈Z}
D、{x∈R|x≠2kπ-
6
,k∈Z}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知關于x的不等式:|2x-m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2,則關于x的不等式:|x-1|+|x-3|≥m的解集為( 。
A、(-∞,0]
B、[4,+∞)
C、(0,4]
D、(-∞,0]∪[4,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

求函數(shù)y=tan(
π
2
x+
π
6
)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案