分析 (1)求出φ(x)的導數(shù),求出極值點,由新定義求得a的范圍;
(2)求出φ(x)的導數(shù),運用零點存在定理可得?x0∈(0,p),使得φ'(x0)=0,⇒φ(x)在[0,x0]上為單調(diào)遞增,即可判斷;
(3)求得ϕ(x)的導數(shù),設(shè)方程2x2-2x+t=0的判別式為△=4-8t,討論判別式小于等于0,或大于0,求出單調(diào)區(qū)間,由新定義即可得到所求范圍.
解答 解:(1)ϕ(x)=\frac{x+a}{e^x}的導數(shù)為ϕ'(x)=\frac{1-a-x}{e^x},
令φ'(x)=0⇒x=1-a∈(1,2)⇒a∈(-1,0),…(3分)
又φ(x)在[1,1-a]上為單調(diào)遞增,在[1-a,2]上單調(diào)遞減,
∴φ(x)為F函數(shù)⇒a∈(-1,0)…(4分)
(2)φ'(x)=p-(x+x2+x3+px4),x∈[0,p]⇒ϕ'(x)在[0,p]上為單調(diào)遞減,…(6分)
又φ'(0)=p>0,φ'(p)=-p2-p3-p5<0,
∴?x0∈(0,p),使得φ'(x0)=0,⇒φ(x)在[0,x0]上為單調(diào)遞增,
在[x0,p]上單調(diào)遞減,⇒ϕ(x)是[0,p]上的F函數(shù); …(8分)
(3)ϕ(x)=(x2-x)(x2-x+t)的導數(shù)為ϕ'(x)=(2x-1)(2x2-2x+t),
方程2x2-2x+t=0的判別式為△=4-8t,
當△≤0即t≥\frac{1}{2}時,2x2-2x+t≥0恒成立,
此時x≤\frac{1}{2}時,ϕ'(x)≤0,ϕ(x)單調(diào)遞減;x≥\frac{1}{2}時,ϕ'(x)≥0,ϕ(x)單調(diào)遞增;
故ϕ(x)不是F函數(shù). …(9分)
當△>0即t<\frac{1}{2}時,
方程2x2-2x+t=0的兩根分別為{x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2t}}}{2},{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2t}}}{2},
顯然{x_1}<\frac{1}{2}<{x_2},且ϕ'(x)=4(x-{x_1})(x-\frac{1}{2})(x-{x_2}),
⇒ϕ(x)在(-∞,x1)和(\frac{1}{2},{x_2})上為減,在({x_1},\frac{1}{2})和(x2,+∞)上為增.
所以ϕ(x)是在D(D⊆[x1,x2]且D≠Φ)上的F函數(shù).
綜上所述,若ϕ(x)為[m,n]上的F函數(shù),則t的取值范圍為(-∞,\frac{1}{2})…(12分)
點評 本題考查新定義的理解和運用,考查導數(shù)的運用:求單調(diào)性,考查分類討論和運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{2\sqrt{5}}{5} | B. | \frac{2\sqrt{2}}{3} | C. | 1 | D. | \frac{\sqrt{5}}{2} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \sqrt{3}-1 | B. | \sqrt{3}-\sqrt{2} | C. | 2-\sqrt{2} | D. | 2-\sqrt{3} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 22016 | B. | 22015-1 | C. | 22016-1 | D. | 22017-1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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