Question

14．已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x+a）為偶數(shù)，求|a|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)的平移變換，求解g（x）的解析式，圖象關(guān)于y軸對稱，可求|a|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，x∈R．
=sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}（2co{s}^{2}x-1）$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∵g（x）=f（x+a），且是偶函數(shù)，
∴g（x）=sin（2x+2a-$\frac{π}{3}$），
g（x）是偶函數(shù)，可得2a-$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：a=$\frac{kπ}{2}+\frac{5π}{12}$，k∈Z
當(dāng)k=-1時(shí)，|a|的最小值為$\frac{π}{12}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．