Question

5．方程$\frac{x|x|}{81}+\frac{y|y|}{49}=λ（λ＜0）$的曲線即為y=f（x）的圖象，對(duì)于函數(shù)y=f（x），下列命題中正確的是②③⑤．（請(qǐng)寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)）
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；
②函數(shù)y=f（x）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限；
④函數(shù)F（x）=9f（x）+7x至少存在一個(gè)零點(diǎn)；
⑤函數(shù)y=f（x）的值域是R．

Answer 1

分析 不妨取λ=-1，根據(jù)x、y的正負(fù)去絕對(duì)值，將方程化簡(jiǎn)，得到相應(yīng)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的表達(dá)式，由此作出函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論．

解答 解：不妨取λ=-1，方程為$\frac{x|x|}{81}+\frac{y|y|}{49}$=-1，圖象如圖所示．
對(duì)于①，不正確，②③⑤，正確
由F（x）=9f（x）+7x=0得f（x）=-$\frac{7}{9}$x．
因?yàn)殡p曲線的漸近線為y=±$\frac{7}{9}$x
所以函數(shù)y=f（x）與直線y=-$\frac{7}{9}$x無(wú)公共點(diǎn)，
因此F（x）=9f（x）+7x不存在零點(diǎn)，可得④不正確．
故答案為：②③⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有絕對(duì)值的二次曲線，要我們判斷并于曲線性質(zhì)的幾個(gè)命題的真假．著重考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)式的化簡(jiǎn)、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識(shí)，屬于難題．