Question

在四棱錐中，底面是直角梯形，∥，∠， ，平面⊥平面.

（1）求證：⊥平面；
（2）求平面和平面所成二面角（小于）的大��；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?，所以.因?yàn)?平面平面，平面平面，平面，所以 平面；（Ⅱ） ；（Ⅲ）解：在棱上存在點(diǎn)使得∥平面，此時(shí).

試題分析：（Ⅰ）證明：因?yàn)?，
所以 .                        ………………………………………1分
因?yàn)?平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面.                  ………………………………………3分
（Ⅱ）解：取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824002819399506.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以 .
因?yàn)?平面平面，平面平面，平面，
所以 平面.                ………………………………………4分
如圖，

以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)垂直于的直
線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．不妨設(shè).由
直角梯形中可得，，
.
所以 ，.
設(shè)平面的法向量.
因?yàn)?
所以
即
令，則.
所以 .                 ………………………………………7分
取平面的一個(gè)法向量n.
所以 .
所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為.
………………………………………9分
（Ⅲ）解：在棱上存在點(diǎn)使得∥平面，此時(shí). 理由如下：…………10分
取的中點(diǎn)，連接，，.
則 ∥，.

因?yàn)?，
所以 .
因?yàn)?∥，
所以 四邊形是平行四邊形.
所以 ∥.
因?yàn)?，
所以 平面∥平面.           ………………………………………13分
因?yàn)?平面，
所以 ∥平面.               ………………………………………14分
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面關(guān)系的判定及二面角的求法，考查空間想象能力與邏輯思維能力，對(duì)于立體幾何問(wèn)題的證明問(wèn)題，要求我們熟練應(yīng)用課本上的定理、性質(zhì)、結(jié)論等，要求會(huì)用幾何法和向量法兩種方法求解