11．設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若C=$\frac{2π}{3}$，c=$\sqrt{2}$a，則$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

分析 利用正弦定理解出sinA，使用內角和公式和差角公式求出sinB，則$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$．

解答 解：由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，∴sinA=$\frac{asinC}{c}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．∴cosA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
∴sinB=sin（$\frac{π}{3}$-A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{30}-\sqrt{6}}{8}$．
∴$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}×\frac{8}{\sqrt{30}-\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理得應用，屬于基礎題．

練習冊系列答案
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