Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）若f（x）≤1，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，4﹣8x≥0，

則23x≤22，即3x≤2，解得x≥ ，

所以函數(shù)f（x）的定義域是（﹣∞， ]；

又4﹣8x＜4，所以 ，

即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2）

（2）解：由f（x）≤1得， ，

則0≤4﹣8x≤1，即3≤8x≤4，

兩邊取以8為底的對(duì)數(shù)，解得 ，

所以不等式的解集是

【解析】（1）由解析式列出不等式，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出函數(shù)的定義域，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出值域；（2）由解析式化簡(jiǎn)f（x）≤1，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出不等式的解集．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對(duì)函數(shù)的值域的理解，了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．