Question

17．若函數(shù)f（x）=-a•2^x與g（x）=4^x+a+1的圖象有兩個交點，則a的取值范圍是（-1，2-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 令2^x=t＞0，根據(jù)題意可得方程 t²+at+a+1=0 有2個正解，再利用二次函數(shù)的性質求得a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-a•2^x與g（x）=4^x+a+1的圖象有兩個交點，
令2^x=t＞0，可得函數(shù)y=-at 和函數(shù)y=t²+a+1在（0，+∞）有2個交點，
即方程 t²+a+1=-at 在（0，+∞）有2個解，即方程t²+at+a+1=0 有2個正解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-4（a+1）＞0}\\{{t}_{1}{+t}_{2}=-\frac{1}{a}＞0}\\{{t}_{1}{•t}_{2}=a+1＞0}\end{array}\right.$，
求得-1＜a＜2-2$\sqrt{2}$，
故答案為：（-1，2-2$\sqrt{2}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)的圖象特征，方程根的存在性以及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．