Question

5．如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=AD=$\sqrt{3}$，若∠A₁AD=∠A₁AB=45°，∠BAD=60°，則點(diǎn)A₁到平面ABCD的距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，O在∠BAD的平分線上，說明∠BAD的平分線即菱形ABCD的對(duì)角線AC，在三角形AA₁O中，求出A₁O即為高．

解答 解：記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分線上，
又AB=AD，∴∠BAD的平分線即菱形ABCD的
對(duì)角線AC，故O在AC上；
∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB
∴cos∠A₁AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，∴sin∠A₁AO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
在△A₁AO中，AA₁=$\sqrt{3}$
∴點(diǎn)A₁到平面ABCD的距離為A₁O=1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力．解題關(guān)鍵在于正確解三角形．