Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．
（1）求x＞0時，函數(shù)f（x）的解析式；
（2）討論函數(shù)g（x）=f（x）-a的零點個數(shù)；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，當x∈[1，2]，記函數(shù)g（x）的最大值與最小值之差為M（a），求M（a）．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設x＞0，結合函數(shù)的奇偶性，從而得到函數(shù)的解析式；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，通過讀圖，得到g（x）的零點的個數(shù)；
（3）先求出g（x）的表達式，求出對稱軸，通過討論對稱軸的位置，得到函數(shù)g（x）的最值，從而求出M（a）的表達式．

解答： 解：（1）設x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=x²-2x，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴x＞0時，f（x）=x²-2x；
（2）由（1）得：f（x）=

x2+2x，(x≤0) x2-2x，(x＞0)

，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：
，
∴當a＜-1時，g（x）無零點，
當a=-1時，g（x）有2個零點，
當-1＜a＜0時，g（x）有4個零點，
當a=0時，g（x）有3個零點，
當a＞0時，g（x）有2個零點；
（3）當x∈[1，2]，f（x）=x²-2x，
∴g（x）=f（x）-2ax+2=x²-2（a+1）x+2，
對稱軸x=a+1，g（1）=-2a+1，g（2）=-4a+2，
①a+1≤1，即a≤0時，g（x）在[1，2]遞增，
∴g（2）最大，g（1）最小，
∴M（a）=g（2）-g（1）=-2a+1，
②1＜a+1＜

3

2

，即0＜a＜

1

2

時，g（x）在[1，a+1）遞減，在（a+1，2]遞增，
∴g（2）最大，g（a+1）最小，
∴M（a）=g（2）-g（a+1）=a²-2a+1，
③

3

2

≤a+1＜2，即

1

2

≤a＜1時，g（x）在[1，a+1）遞減，在（a+1，2]遞增，
∴g（1）最大，g（a+1）最小，
∴M（a）=g（1）-g（a+1）=a²，
④a+1≥2，即a≥1時，g（x）在[1，2]遞減，
∴g（1）最大，g（2）最小，
∴M（a）=g（1）-g（2）=-a²-2a+1，
綜上：M（a）=

-2a+1，a≤0 a2-2a+1，0＜a＜ 1 2 a2， 1 2 ≤a＜1 -a2-2a+1，a≥1

．

點評：本題考查了求函數(shù)的基礎上問題，考查了函數(shù)的奇偶性問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．