Question

已知橢圓，過(guò)點(diǎn)且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，連接AM交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上是否存在異于A、B的定點(diǎn)Q,使得直線BP和直線MQ垂直.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）由離心率，所以①，再把點(diǎn)代入橢圓中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可寫(xiě)出橢圓方程；

假設(shè)存在，設(shè)，則直線的方程， 可得， 并設(shè)定點(diǎn)，由，直線與直線斜率之積為-1，即 ，化簡(jiǎn)得 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718581399379853/SYS201411171858229002337593_DA/SYS201411171858229002337593_DA.021.png"> ，得，可求出，繼而得到定點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意得：

得 ，

所以，橢圓方程為

（2）設(shè)，則直線的方程，

可得，

設(shè)定點(diǎn)，，

，即 ，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718581399379853/SYS201411171858229002337593_DA/SYS201411171858229002337593_DA.021.png">，所以

進(jìn)而求得，故定點(diǎn)為.

考點(diǎn)：橢圓方程；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；是否存在問(wèn)題.