Question

20．若在定義域內(nèi)存在實數(shù)x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，則稱函數(shù)有“穿越點(diǎn)”x₀，在區(qū)間（0，5]上任取一個數(shù)a，則函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越點(diǎn)”的概率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{10}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 若函數(shù)在（0，+∞）上有飄移點(diǎn)，只需方程在該區(qū)間上有實根，然后借助于二次函數(shù)的性質(zhì)可以解決

解答 解：函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越點(diǎn)”，
所以lg$\frac{a}{{2}^{{x}_{0}+1}+1}$=lg$\frac{a}{{2}^{{x}_{0}}+1}+lg\frac{a}{3}$成立，即$\frac{a}{{2}^{{x}_{0}+1}+1}=\frac{a}{{2}^{{x}_{0}}+1}×\frac{a}{3}$，
整理得${2}^{{x}_{0}}=\frac{a-3}{3-2a}$，由${2}^{{x}_{0}}$＞0，得到$\frac{a-3}{2a-3}$＜0，解得$\frac{3}{2}＜a＜3$，所以函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越點(diǎn)”a的范圍是（$\frac{3}{2}$，3），
所以在區(qū)間（0，5]上任取一個數(shù)a，則函數(shù)f（x）=lg$\frac{a}{{2}^{x}+1}$在（-∞，+∞）上有“穿越點(diǎn)”的概率為：$\frac{3-\frac{3}{2}}{5}=\frac{3}{10}$；
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的方程與函數(shù)間的關(guān)系，即利用函數(shù)思想解決方程根的問題，利用方程思想解決函數(shù)的零點(diǎn)問題，要注意體會