Question

15．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，點F₁，F(xiàn)₂是橢圓E的左、右焦點，過F₁的直線與橢圓E交于A，B兩點，且△F₂AB的周長為8．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）動點M在橢圓E上，動點N在直線l：y=2$\sqrt{3}$上，若OM⊥ON，探究原點O到直 線MN的距離是否為定值，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列出方程組求出a、b的值，寫出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）①直線ON的斜率不存在，計算原點O到直線MN的距離d的值；②直線ON的斜率存在，設(shè)出直線OM、ON的方程，求出點M、N，計算|MN|²、|OM|²、|ON|²，求出原點O到直線MN的距離d，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率為$\frac{1}{2}$，且△F₂AB的周長為8，
所以$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}{-b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{4a=8}\end{array}\right.$，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，…（3分）
所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；…（4分）
（2）①若直線ON的斜率不存在，
則|OM|=2$\sqrt{3}$，|ON|=2，|MN|=4，
所以原點O到直線MN的距離為d=$\frac{|OM|•|ON|}{MN}$=$\sqrt{3}$；…（6分）
②若直線ON的斜率存在，
設(shè)直線OM方程為y=kx，
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，解得x²=$\frac{12}{3+{4k}^{2}}$，
y²=$\frac{1{2k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$；…（7分）
則直線ON的方程為y=-$\frac{1}{k}$x，代入y=2$\sqrt{3}$，
解得N（-2$\sqrt{3}$k，2$\sqrt{3}$）；…（8分）
所以|MN|²=|OM|²+|ON|²=（$\frac{12}{3+{4k}^{2}}$+$\frac{1{2k}^{2}}{3+{4k}^{2}}$）+（12k²+12）=$\frac{4{8（1{+k}^{2}）}^{2}}{3+{4k}^{2}}$；
設(shè)原點O到直線MN的距離為d，
則|MN|•d=|OM|•|ON|，
得d²=$\frac{{|OM|}^{2}{•|ON|}^{2}}{{|MN|}^{2}}$=3，
所以d=$\sqrt{3}$；…（11分）
綜上，原點O到直線MN的距離為定值$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題考查了直線與橢圓方程的應(yīng)用問題，也考查了方程組與分類討論思想的應(yīng)用問題，是綜合題．