Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+y²=1（a為常數且a＞1），向量

m

=（l，t）（t＞0），經過A（-a，0），以

m

為方向向量的直線交橢圓于點B，直線BO交橢圓于點C．
（1）用t表示△ABC的面積S（t）；
（2）若t∈[

1

2

，1]，求S（t）最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：計算題,函數的性質及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設出直線AB的方程，代入橢圓方程，求出B的坐標，再由面積公式，即可得到S（t）；
（2）令g（t）=a²t+

1

t

，討論當a≥2時，當1＜a＜2時，g（t）的單調性，求出最小值，即可得到面積的最大值．

解答： 解：（1）設直線AB：y=t（x+a），代入橢圓方程，可得
（1+a²t²）x²+2a³t²x+a⁴t²-a²=0，
則-ax_B=

a4t2-a2

1+a2t2

，解得，x_B=

a-a3t2

1+a2t2

，
則y_B=t（x_B+a）=

2at

1+a2t2

，
則△ABC的面積S（t）=S_△AOB+S_△AOC=

1

2

|AO|•|y_B-y_C|
=

1

2

a•2•

2at

1+a2t2

=

2a2t

1+a2t2

（t＞1）；
（2）由于S（t）=

2a2t

1+a2t2

（t＞1）=

2a2

1 t +a2t

，
令g（t）=a²t+

1

t

，當a≥2時，g（t）在[

1

2

，1]上遞增，
即有g（

1

2

）最小，且為2+

1

2

a²，S（t）取得最大值

4a2

4+a2

；
當1＜a＜2時，g（t）在[

1

2

，

1

a

]上遞減，[

1

a

，1]上遞增，
則g（

1

a

）最小，且為2a，S（t）取得最大值a．
綜上，當a≥2時，S（t）取得最大值

4a2

4+a2

；
當1＜a＜2時，S（t）取得最大值a．

點評：本題考查橢圓的性質，考查聯立直線方程和橢圓方程，消去未知數，運用韋達定理，考查函數的單調性的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．