Question

設(shè)函數(shù)g（x）=（x+1）ln（x+1）-x，f（x）=a（x+1）²•ln（x+1）+bx，曲線y=f（x）在原點（0，0）處的切線方程為y=0，且經(jīng)過點（e-1，e²-e+1）．
（1）求y=f（x）的表達式，并證明：當x≥0時，g（x）≥0；
（2）若當x≥0時，f（x）≥mx²恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：分類討論,導數(shù)的概念及應(yīng)用,導數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，再將點（e-1，e²-e+1）代入f（x）的解析式，解方程即可得到a，b，進而得到f（x）的解析式；
（2）令h（x）=f（x）-mx²=（x+1）²•ln（x+1）-x-mx²，求出h（x）的導數(shù)，對m討論，當m≤

1

2

時，當m＞

1

2

時，判斷導數(shù)的符號，得到單調(diào)性即可求得m的范圍．

解答： （1）解：f（x）=a（x+1）²•ln（x+1）+bx的導數(shù)為
f′（x）=2a（x+1）ln（x+1）+a（x+1）+b，
由曲線y=f（x）在原點（0，0）處的切線方程為y=0，即有a+b=0，
曲線y=f（x）經(jīng)過點（e-1，e²-e+1），則ae²+b（e-1）=e²-e+1，
解得a=1，b=-1，
即有f（x）=（x+1）²•ln（x+1）-x．
證明：函數(shù)g（x）=（x+1）ln（x+1）-x的導數(shù)為g′（x）=ln（x+1）+1-1=ln（x+1），
當x≥0時，ln（x+1）≥0，即有g(shù)（x）在x≥0上遞增，則g（x）≥g（0）成立；
（2）解：令h（x）=f（x）-mx²=（x+1）²•ln（x+1）-x-mx²，
h′（x）=f′（x）-2mx=2（x+1）ln（x+1）+（1-2m）x．
當m≤

1

2

時，當x≥0時，h′（x）≥0恒成立，即有f（x）≥mx²．
當m＞

1

2

時，當x≥0時，h′（x）≥0不恒成立．
則有實數(shù)m的取值范圍為（-∞，

1

2

]．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，主要考查導數(shù)的幾何意義和函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．