Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+x+1在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，得出x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）≥0，由此列出不等式求出a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+x+1，
∴f′（x）=x²-2ax+1；
又∵f（x）在（-∞，0）上是單調(diào)增函數(shù)，
∴x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）≥0，
即x∈（-∞，0）時(shí)，x²-2ax+1≥0；
∴2ax≤x²+1，
∴2a≥x+

1

x

；
又∵x∈（-∞，0），
∴-x∈（0，+∞）；
∴-x-

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)“=”成立；
∴x+

1

x

≤-2，
即2a≥-2，∴a≥-1；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，是綜合性題目．