Question

11．命題p：x²-4mx+1=0有實(shí)數(shù)解，命題q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立．
（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若命題q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若命題p且q為假命題，且命題p或q為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：x²-4mx+1=0有實(shí)數(shù)解，則△≥0，解得m范圍．命題q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立，若m=0，化為-2x₀＞1，滿足題意；若m≠0時(shí)，則△＞0，解得m范圍．再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出（1）（2）（3）．

解答 解：命題p：x²-4mx+1=0有實(shí)數(shù)解，則△=（-4m）²-4≥0，解得$m≥\frac{1}{4}$．
命題q：?x₀∈R，使得mx₀²-2x₀-1＞0成立，若m=0，化為-2x₀＞1，滿足題意；若m≠0時(shí)，則△=4+4m＞0，解得m＞-1（m≠0），綜上可得：m＞-1．
（1）若命題p為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是$m≥\frac{1}{4}$．
（2）若命題q為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＞-1．
（3）若命題p且q為假命題，且命題p或q為真命題，
則命題p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥\frac{1}{4}}\\{m≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜\frac{1}{4}}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，
解得$-1＜m＜\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．