Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點

（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論；
（3）求DB與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），

設AD=a，則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a， ，0）、F（ ， ， ）、P（0，0，a）．

∵ =（﹣ ，0， ）， =（0，a，0），

∴ =（﹣ ，0， ）（0，a，0）=0，

∴ ⊥

∴EF⊥DC

（2）解：設G（x，0，z），則G∈平面PAD．

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ），

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ）（a，0，0）=a（x﹣ ）=0，∴x= ；

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ）（0，﹣a，a）= +a（z﹣ ）=0，∴z=0．

∴G點坐標為（ ，0，0），即G點為AD的中點

（3）解：設平面DEF的法向量為 =（x，y，z）．

由 得：

取x=1，則y=﹣2，z=1，

∴ =（1，﹣2，1）．

cos＜ ， ＞= = = ，

∴DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為

【解析】以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設AD=a，可求出各點的坐標；（1）求出EF和CD的方向向量，根據(jù)向量垂直的充要條件，可證得 ⊥ ，即EF⊥DC．（2）設G（x，0，z），根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得 = =0，進而可求出x，z值，得到G點的位置；（3）求出平面DEF的法向量為 ，及DB的方向 的坐標，代入向量夾角公式，可得DB與平面DEF所成角的正弦值【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質(zhì)的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想；垂直于同一個平面的兩條直線平行．