Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F1、F2 ， 離心率為e．直線l：y=ex+a與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè) =λ ．
（1）證明：λ=1﹣e2；
（2）若λ= ，△MF1F2的周長(zhǎng)為6；寫(xiě)出橢圓C的方程；
（3）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因?yàn)锳、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)，

所以A、B的坐標(biāo)分別是（﹣ ，0），（0，a）．

由 得 這里c= ．

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣c， ）．

由 =λ 得（﹣c+ ， ）=λ（ ，a）．

即 ，解得λ=1﹣e2

（2）解：當(dāng)λ= 時(shí)，e= ，所以a=2c．

由△PF1F2的周長(zhǎng)為6，得2a+2c=6．

所以a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．

橢圓方程為 ．

（3）解：因?yàn)镻F1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，

即 |PF1|=c．

設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 |PF1|=d= = =c．

得 =e．

所以e2= ，于是λ=1﹣e2= ．

即當(dāng)λ= 時(shí)，△PF1F2為等腰三角形

【解析】（1）先根據(jù)A、B分別是直線l：y=ex+a與x軸、y軸的交點(diǎn)表示出A、B的坐標(biāo)，然后聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得到交點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù) =λ 得（﹣c+ ， ）=λ（ ，a）根據(jù)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等可得到 ，從而得到λ=1﹣e2 ， 等證．（2）當(dāng)λ= 時(shí)可得到e的值，進(jìn)而得到a，c的關(guān)系，再由△PF1F2的周長(zhǎng)為6可得到2a+2c=6，進(jìn)而可求出a，c的值，從而可得到b的值，確定橢圓方程．（3）根據(jù)PF1⊥l，可得到∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，進(jìn)而要使得△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 |PF1|=c成立，然后設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，根據(jù) |PF1|=d= =c可得到 =e，進(jìn)而可得到e的值，求出λ的值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：即可以解答此題．