4．已知a，b∈（0，+∞），求證：${（{{a^3}+{b^3}}）^{\frac{1}{3}}}＜{（{{a^2}+{b^2}}）^{\frac{1}{2}}}$．

分析 利用分析法證明，即可得出結(jié)論．

解答 證明：要證明：${（{{a^3}+{b^3}}）^{\frac{1}{3}}}＜{（{{a^2}+{b^2}}）^{\frac{1}{2}}}$，
只需要證明：（a3+b3）2＜（a2+b2）3．
只需要證明：a6+b6+2a3b3＜a6+b6+3a4b2+3a2b4，
只需要證明：2ab＜3a2+3b2，
只需要證明：3（a-$\frac{1}{3}$b）2+$\frac{8}{3}$b2＞0，
∵a＞0，b＞0，
∴3（a-$\frac{1}{3}$b）2+$\frac{8}{3}$b2＞0．
∴原不等式成立．

點評 本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

14．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-1|，則不等式f（x）＞1的解集為（　�。�
A．（$\frac{2}{3}$，2）B．（$\frac{1}{3}$，2）C．（$\frac{2}{3}$，3）D．（$\frac{1}{3}$，3）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．已知函數(shù)$f（x）=2sinx+1（{\frac{1}{2}π＜x＜\frac{3}{2}π}）$，${f^{-1}}（{\frac{1}{2}}）$=arcsin$\frac{1}{4}+π$，（用反三角形式表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖由一個直角三角形與一個半圓組成，則該幾何體的表面積為14+6$\sqrt{5}$+10π．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

19．已知正方形ABCD的面積為8，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D-ABC的外接圓的表面積等于16π．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．如圖，在直三棱錐A1B1C1-ABC，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點D是BC的中點．
（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
（2）求平面ADC1與平面A1BA所成的二面角（是指不超過90°的角）的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

16．張三同學(xué)從7歲起到13歲每年生日時對自己的身高測量后記錄如表：
年齡 （歲）78910111213
身高 （cm）121128135141148154160
（Ⅰ）求身高y關(guān)于年齡x的線性回歸方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的線性回歸方程，分析張三同學(xué)7歲至13歲身高的變化情況，如17歲之前都符合這一變化，請預(yù)測張三同學(xué)15歲時的身高．
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）（{y}_{1}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{1}-\overline{x}）^{2}}$，$\overline{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)1，F(xiàn)2為它的左、右焦點，P為橢圓上一點，已知∠F1PF2=60°，S${\;}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\sqrt{3}$，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓方程；
（2）已知T（-4，0），過T的直線與橢圓交于M、N兩點，求△MNF1面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．已知（如圖）為某四棱錐的三視圖，則該幾何體體積為$\frac{8}{3}$

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同步練習(xí)冊答案