Question

如圖△ABC為正三角形，邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，PQ為圓A的任意一條直徑．
（1）若

CD

=

1

2

DB

，求|

AD

|；
（2）求

BQ

•

CP

的最小值．
（3）判斷

BP

•

CQ

+

BQ

•

CP

的值是否會隨點P的變化而變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）選定

CB

，

CA

為基向量，由題設條件知，此兩向量的模是2，夾角是

π

3

，根據(jù)題設條件

CD

=

1

2

DB

，及向量加法用兩個基向量表示出

AD

，再求它的模；
（2）設∠PAB=θ，則∠CAQ=120°-θ，由數(shù)量積公式及向量的三角形法則進行變形，將

BQ

•

CP

表示成∠PAB=θ的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值；
（3）由（2）將

BP

•

CQ

+

BQ

•

CP

中兩個向量的數(shù)量積表示成θ的三角函數(shù)，再進行運算，得出

BP

•

CQ

+

BQ

•

CP

=2是一個常數(shù)由此得出結(jié)論

解答：解：（1）∵

AD

=

CD

-

CA

=

1

3

CB

-

CA

，∴|

AD

|2=(

1

3

CB

-

CA

)2∴=

1

9

CB

2-

2

3

CB

•

CA

+

CA

2=

4

9

-

2

3

×2×2×

1

2

+4=

28

9

，
∴|

AD

|=

2 7

3

（2）設∠PAB=θ，則∠CAQ=120°-θ
∴

BQ

•

CP

=(

AQ

-

AB

)•(

AP

-

AC

)=

AQ

•

AP

-

AQ

•

AC

-

AB

•

AP

+

AB

•

AC

=-1-1×2×cos(120°-θ)-1×2×cosθ+2×2×

1

2

=1-cosθ-

3

sinθ=1-2sin(θ+

π

6

)
當sin(θ+

π

6

)=1時，即θ=2kπ+

π

3

，k∈Z時，

BQ

•

CP

有最小值-1，
（3）

BP

•

CQ

+

BQ

•

CP

的值不隨點P的變化而變化
∵

BP

•

CQ

=(

BA

+

AP

)•(

CA

+

AQ

)=1+cosθ+

3

sinθ=1+2sin(θ+

π

6

)
由（2）知

BQ

•

CP

=1-2sin(θ+

π

6

)，
∴

BP

•

CQ

+

BQ

•

CP

=2，
所以∴

BP

•

CQ

+

BQ

•

CP

的值不隨點P的變化而變化．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，解題的關(guān)鍵是掌握幾何中的關(guān)系與向量的對應，本題中主要用到了線段的長度與向量的模的對應，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想，將求向量內(nèi)積的最值的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，根據(jù)所研究問題的實際情況恰當?shù)霓D(zhuǎn)化研究問題的角度，是數(shù)學解題中常用的技巧，本題由有符號運算與數(shù)字運算，運算量較大，解題時要認真嚴謹．