Question

20．2016年1月6日北京時間上午11時30分，朝鮮中央電視臺宣布“成功進行了氫彈試驗”，再次震動了世界．朝鮮聲明氫彈試驗對周邊生態(tài)環(huán)境未產(chǎn)生任何負面影響，未提及試驗地點．中國外交部發(fā)表措辭嚴厲的聲明對朝鮮核試驗“堅決反對”，朝鮮“氫彈試驗”事件引起了我國公民熱議，其中丹東市（丹東市和朝鮮隔江）某QQ聊天群有300名網(wǎng)友，新疆烏魯木齊某微信群由200名微信好友．為了了解不同地區(qū)我國公民對“氫彈試驗”事件的關注度，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名好友，先分別統(tǒng)計了他們在某時段發(fā)表的信息條數(shù)，再將兩地網(wǎng)友留言信息條數(shù)分成5組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）求丹東市網(wǎng)友的平均留言條數(shù)（保留整數(shù)）；
（2）為了進一步開展調(diào)查，從樣本中留言條數(shù)不足50條的網(wǎng)友中隨機抽取2人，求至少抽到一名烏魯木齊市網(wǎng)友的概率；
（3）規(guī)定：“留言條數(shù)”不少于70條為“強烈關注”．
①請根據(jù)已知條件完成下列2×2的列聯(lián)表；

	強烈關注	非常強烈關注	合計
丹東市
烏魯木齊市
合計

②判斷是否有90%的把握認為“強烈關注”與網(wǎng)友所在的地區(qū)有關？
附：臨界值表及參考公式
K²=$\frac{n（ad-bc）^2}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，n=a+b+c+d

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）將組中值與各自小組的頻率相乘，所得的數(shù)字再相加即可得出平均數(shù)；
（2）分別求出留言不到50條的兩地區(qū)人數(shù)，使用組合數(shù)公式計算概率；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖計算各組人數(shù)填表；計算K²的觀測值與2.706比較大小即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005×10=63.5≈64．
∴丹東市網(wǎng)友的平均留言條數(shù)是64條．
（2）留言條數(shù)不足50條的網(wǎng)友中，丹東市網(wǎng)友有0.01×10×100×$\frac{300}{300+200}$=6人，烏魯木齊網(wǎng)友有0.005×$\frac{300}{300+200}$=2人，
從中隨機抽取2人共有${C}_{8}^{2}$=28種可能結(jié)果，其中至少有一名烏魯木齊網(wǎng)友的結(jié)果共有${C}_{2}^{1}{C}_{6}^{1}+{C}_{2}^{2}$=12+1=13種情況，
∴至少抽到1名烏魯木齊網(wǎng)友的概率為P=$\frac{13}{28}$．
（3）①列聯(lián)表如下：

	強烈關注	非強烈關注	合計
丹東市	15	45	60
烏魯木齊市	15	25	40
合計	30	70	100

②K²的觀測值k=$\frac{100×（15×25-15×45）^{2}}{60×40×30×70}$≈1.79，
∵1.79＜2.706，
∴沒有90%的把握認為“強烈關注”與網(wǎng)友所在的地區(qū)有關．

點評 本題考查了頻率分布直方圖，古典概型的概率計算，獨立檢驗等統(tǒng)計知識，屬于中檔題．