Question

12．已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）討論函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$（k∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：除切點(diǎn)（e，e）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線h（x）=2x-e的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，討論函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$（k∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）令F（x）=xlnx-2x+e，求導(dǎo)數(shù)，確定其單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$=lnx+$\frac{k}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，
k≤0時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
k＞0時(shí)，g′（x）＞0，x＞k，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增區(qū)間為（k，+∞）；
g′（x）＜0，0＜x＜k，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞減區(qū)間為（0，k）；
（Ⅱ）證明：令F（x）=xlnx-2x+e，
∴F′（x）=lnx-1，
∴（0，e）上，F(xiàn)′（x）＜0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞減，（e，+∞）上，F(xiàn)′（x）＞0，函數(shù)F（x）單調(diào)遞增
∴F（x）≥F（e）=0
又f′（e）=lne+1=2，f（e）=e，
∴函數(shù)f（x）=xlnx在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為y-e=2（x-e），即2x-y-e=0．
∴除切點(diǎn)（e，e）之外，函數(shù)f（x）的圖象在直線h（x）=2x-e的上方．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．