Question

3．求滿足下列條件的曲線的標準方程
（1）兩焦點坐標分別是$（{0，2\sqrt{2}}），（{0，-2\sqrt{2}}），并且橢圓經(jīng)過點（{-\sqrt{21}，-3}）$．
（2）經(jīng)過點$（{3，-4\sqrt{2}}），（{\frac{9}{4}，5}）的雙曲線的標準方程$．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，結(jié)合已知條件得關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得答案；
（2）由題意，設(shè)雙曲線方程為mx²+ny²=1，代入點（3，-4$\sqrt{2}$）、（$\frac{9}{4}$，5），建立方程組，求出m，n，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{21}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=36，b²=28．
∴題意方程為$\frac{{y}^{2}}{36}+\frac{{x}^{2}}{28}=1$；
（2）設(shè)雙曲線方程為由題意，設(shè)雙曲線方程為mx²+ny²=1，
代入點（3，-4$\sqrt{2}$）、（$\frac{9}{4}$，5），可得9m+32n=1，$\frac{81}{16}$m+25n=1，
聯(lián)立解得m=-$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{16}$，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的標準方程，考查待定系數(shù)法的運用，屬于中檔題．