Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{1-sinx，x∈[0，π）}\\{{{log}_{2016}}\frac{x}{π}，x∈[π，+∞）}\end{array}}\right.$若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃（x₁＜x₂＜x₃），使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則滿足x₁+x₂＞4π-x₃的事件的概率為$\frac{2013}{2015}$．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)，求出滿足條件的區(qū)間，以長度為測度，即可求出滿足x₁+x₂＞4π-x₃的事件的概率．

解答 解：當(dāng)x∈[0，π）時(shí)，f（x）=1-sinx在[0，π）上先減后增，且0≤f（x）≤1，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）=0．
設(shè)f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=d，由f（x）=1-sinx在（0，π）上的對稱性，方程1-sinx=d有兩個(gè)不同的根，兩根和為π；
當(dāng)x∈[π，+∞）時(shí)，$f（x）={log_{2016}}\frac{x}{π}$單調(diào)遞增，故f（x）≥log₂₀₁₆1=0，
若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則0＜f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）＜1，
∵x₁＜x₂＜x₃，則由以上分析知，x₁+x₂=π，x₁，x₂∈[0，π），x₃∈[π，+∞），$0＜{log_{2016}}\frac{x_3}{π}＜1$，即π＜x₃＜2016π，故2π＜x₁+x₂+x₃＜2017π．當(dāng)x₁+x₂＞4π-x₃時(shí)，4π＜x₁+x₂+x₃＜2017π，
∴滿足x₁+x₂＞4π-x₃的事件的概率為$\frac{2013}{2015}$．
故答案為：$\frac{2013}{2015}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何概型，考查分段函數(shù)，確定滿足條件的區(qū)間是關(guān)鍵．