Question

13．設(shè)f（x，y）=x²+y²-2x+4y+4．
（I）若f（x，x）＞2ax²+2ax對于任意的實數(shù)x都恒成立，求實數(shù)a的最值范圍；
（Ⅱ）是否存在斜率為1的直線l，使l被曲線C：f（x，y）=8截得的弦為AB，且以AB為直徑的圓恰好過曲線C的中心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得（a-1）x²+（a-1）x-2＜0恒成立，討論a=1，a＜1，判別式小于0，a＞1的情況，解不等式即可得到所求范圍；
（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的直線l滿足題意，由已知中圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，直線l的斜率為1，我們設(shè)出直線的斜截式方程，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理我們可以根據(jù)以AB為直徑的圓過C，構(gòu)造關(guān)于b的方程，解方程即可求判斷是否存在直線l．

解答 解：（Ⅰ）f（x，x）＞2ax²+2ax對于任意的實數(shù)x恒成立，
即為2x²+2x+4＞2ax²+2ax，即（a-1）x²+（a-1）x-2＜0恒成立，
當(dāng)a=1時，-2＜0恒成立；
當(dāng)a＜1時，△=（a-1）²+8（a-1）＜0，解得-7＜a＜1；
當(dāng)a＞1時，不等式不恒成立．
綜上可得，實數(shù)a的最值范圍是（-7，1]．
（Ⅱ）假設(shè)存在斜率為1的直線l，滿足題意．
設(shè)直線l的方程為：y=x+b，
直線l被圓C截得的弦AB的坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x+4y-4=0}\end{array}\right.$，
得2x²+（2+2b）x+b²+4b-4=0，
由題意得：△=（2+2b）²-8（b²+4b-4）＞0
得：-3-3$\sqrt{2}$＜b＜-3+3$\sqrt{2}$，
由韋達(dá)定理可得：x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=$\frac{^{2}+4b-4}{2}$，①
又以AB為直徑的圓過圓心（1，-2）．
∴（x₁-1）（x₂-1）+（y₁+2）（y₂+2）=0，
又y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，
化簡可得2x₁x₂+（1+b）（x₁+x₂）+5+4b+b²=0，
將①代入化簡可得，b²+6b=0，
∴b=0或b=-6合題意，
故存在這樣的直線l滿足題意，且直線方程為：x-y=0和x-y-6=0．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用二次不等式恒成立的解法，同時考查直線和圓的方程的應(yīng)用，其中本題所使用的“設(shè)而不求”+“聯(lián)立方程”+“韋達(dá)定理”的方法是解答直線與圓錐曲線（包括圓）的關(guān)系時最常用的方法．